Estadistica: julio 2009

TEORIA DE CONJUNTOS:

TERCER BIMESTRE

TEORIA DE CONJUNTOS: Teoría de conjuntos

Diagrama de Ven que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su diferencia
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticaS que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por ZermelO.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.

Notación
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:
para definir a tal conjunto . Esta notación empleada para definir al conjunto se llama notación por extensión
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos (léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de se escribe (léase no pertenece a ).
El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por . Es decir
La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles no están contenidos en él, es decir
.
Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:
Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tales que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra .
Por ejemplo, el conjunto puede definirse por:
donde el símbolo representa al conjunto de los números naturales.
El uso de algún conjunto es muy importante, ya que de no hacerlo se podría caer en contradicciones como ejemplo:
Es decir, es el conjunto donde cada elemento satisface la propiedad . Al principio uno podría creer que ningún conjunto puede estar contenido en sí mismo y que por lo tanto no contiene elemento alguno; sin embargo, en vista de que es un conjunto, cabe hacer la pregunta "¿ ?" Si la respuesta es negativa ( ) entonces cumple la propiedad y por lo tanto . Si por el contrario la respuesta es afirmativa ( ), entonces no cumple con la propiedad y por esta razón . Esta paradoja es muy famosa y se conoce como la paradoja del barbero esta es una de las tantas incongruencias que tenía la teoría de Cantor.
Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:
Subconjuntos y Superconjuntos

Diagrama de Venn que muestra
Un conjunto se dice que es subconjunto de otro , si cada elemento de es también elemento de , es decir, cuando se verifique:
,
sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .
Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si , se cumpla . Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto , pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es un subconjunto propio de , lo que se representa por . En otras palabras, si y sólo si , y . Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A es subconjunto impropio de sí mismo.
Si es un subconjunto de , decimos también que es un superconjunto de , lo que se escribe . Así pues
,
y también que:
,
significando que es superconjunto propio de .
Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todo elemento , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.
Vemos que es una relación de orden sobre un conjunto de conjuntos, pues
( es reflexiva)
( es antisimétrica)
( es transitiva)
Operaciones de conjuntos
Sean y dos conjuntos.
Unión

Diagrama de Venn que ilustra
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto que se denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B. De manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como de manera que sus elementos son todos los tales que . De esta manera es el caso especial donde .
Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a es condición necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Entonces
Intersección

Diagrama de Venn que ilustra
Los elementos comunes a y forman un conjunto denominado intersección de y , representado por . Es decir, es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:
.
Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dice que son conjuntos disjuntos.
Es claro que el hecho de que es condición necesaria y suficiente para afirmar que y . Es decir
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Entonces:
Particiones
Dado un conjunto A y una serie de subconjuntos Ai, se dice que Ai son particiones de A cuando la unión de todas es el conjunto A, y la intersección de todas es el conjunto vacío. Es decir, que los subconjuntos Ai, forman parte del conjunto mas grande denotado A.
Diferencia

Diagrama de Venn que muestra A − B

Diagrama de Venn que muestra B − A
Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , forman otro conjunto llamado diferencia de y , representado por . Es decir:
.
o dicho de otra manera:
Algunas personas prefieren denotar la diferencia de y como .
Una propiedad interesante de la diferencia es que
eso es porque
Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple
Complemento
El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por . Es decir
El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.
En vista de que y , entonces
,
de manera que
Pero también
de modo que
Diferencia simétrica
Los elementos de dos conjuntos,A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.
Álgebra de conjuntos
Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera y U un conjunto tal que , y entonces:

Elemento neutro de la unión
· Elemento neutro de la intersección
·
· Propiedad conmutativa de la intersección
· Propiedad conmutativa de la unión
· Propiedad de Involución.
· Propiedad asociativa de la intersección
· Propiedad asociativa de la unión
· Propiedad distributiva de la intersección
· Propiedad distributiva de la unión
·

Producto cartesiano de conjuntos o producto cruz Artículo principal: Producto cartesiano
Un par ordenad de números es tal si los pares y son uno mismo si y sólo si .
Dados dos conjuntos y , definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de y (en ese orden), representado por , como el conjunto
Ejemplo
Sean y . Así,
Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resulta
Cuantificadores
Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son
· El cuantificador universal, representado por . Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe
· El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad. Se escribe
.
Se definen
Funciones
Artículo principal: Función matemática
Sean y dos conjuntos. Un subconjunto , se dice aplicación o función de en , lo que se representa por
siempre que se verifique
·
·
Si , el elemento se dice imagen de por , y el elemento se llama antecedente de por .
Sea una función . Se emplea la notación para representar a la imagen de por , y por tanto .
Sean las funciones y . Se define
,
y se dice que es el producto de composición de las funciones y .
Sean , y tres funciones. Entonces .
Para demostrar la igualdad tendremos que probar que tienen el mismo dominio, el mismo codominio, y que sus imágenes son iguales:
Hemos demostrado que los dominios son iguales.
También vemos que tienen el mismo codominio, sólo nos queda ver que :
Por lo tanto queda probado que:
Véase también Teoría axiomática de conjuntos
Hipótesis del continuo
Diagrama de Venn
Conjunto
Intersección de conjuntos
Unión de conjuntos
Diferencia de conjuntos

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS:
Rama de las matemáticas a las que el matemático Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal en 1870. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.
En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos.

DEFINICIONES
Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.
En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.
La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto.
No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Hay dos formas de determinar conjuntos.
Extencioón o Forma Tabular
Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, , , j, u, t, s }

En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.
ó Forma Constructiva
Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
A = { x/x es una vocal }
B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

Vamos a mostrarte un cuadro comparativo de determinación de conjuntos

A = { a, e, i, o, u }
A = { x/x es una vocal }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { c, , , j, u, t, s }

C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
D = { 1, 3, 5, 7, 9 }

D = { x/x es un número impar menor que 10 }
E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . }

E = { x/x es una consonante

CONJUNTOS FINITOS
Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.
M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito
P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito
V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito

IGUALDAD DE CONJUNTOS
Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.
En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.
A = {1, 2, 3, 4}
C = {1, 2, 3, 3, 4, 1}
E = {vocal de la palabra mundo}

B = {3, 4, 1, 2}

D = {1, 2, 2, 3, 4, 4,}
F = {u, o}
A = B
C = D
E = F

CONJUNTO VACÍO
Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.
A = { Los perros que vuelan }
A = { }
A = Ø

B = { x / x es un mes que tiene 53 días}
B = { }
B = Ø

C = { x / x3 = 8 y x es impar }
C = { }
C = Ø

D = { x / x es un día de 90 horas }
D = { }
D = Ø

CONJUNTO UNITARIO
Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.
A = { 5 }
B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }
C = {la capital del Perú } = { Lima }
D = {x / 2x = 6} = {3}

CONJUNTO UNIVERSAL
Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.
Sean los conjuntos:
A = { aves }
B = { peces }
C = { conejos }
D = { monos }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es
U = { animales }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
Sean los conjuntos:
E = { mujeres }
F = { hombres }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es
U = { seres humanos }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2M .
a)
M = { 1, 2 }

El conjunto M tiene 2 elementos

2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø}

entonces 22 = 4 elementos

b)
M = { 1, 2, 3 }
El conjunto M tiene 3 elementos
2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø}
entonces 23 = 8 elementos
Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2M tendrá 2n elemento

CONJUNTOS DISJUNTOS
Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.
Conjuntos disjuntos
Conjuntos no disjuntos
A = { 2, 4, 6 }
M = { o, p, q, r, s }
B = { 1, 3, 5 }
N = { s, t, v, u }
A y B son disjuntos.

M y N no son disjuntos.
C = { x/x es una letra del alfabeto }

P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }
D = { x/x es un número }

Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }
C y D son disjuntos
P y Q no son disjuntos

DIAGRAMA DE VENN:
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).
El gráfico es la representación de la unión

El gráfico es la representación de la intersección:

UNIÓN DE CONJUNTOS:
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:
A U B = {x / x A o x B}
En forma gráfica:

Cuando no tienen

Cuando tienen algunos

Cuando todos los elementos de un
elementos comunes

elementos comunes

conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a)
A U C

b)
B U C

c)
A U B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }

A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }

A U B = { , 1, , 3, , 5 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B

conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a)
A C

DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x A y x B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:

Cuando no tienen

Cuando tienen

Cuando todos los elementos de un
elementos comunes

elementos comunes

conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a)
A - C

b)
B - C

c)
A - B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

A - C = { a, b, c, e }

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C
b) B = { a, e } y C = { d, f, g }

B - C = { a, e }

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }

A - B = { b, c, d }

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
A' = { x/x U y x A }
a)
Sean U = { m, a, r, t, e }

y

A = { t, e }

Su complemento de A es:
A' = { m, a, r }

En forma gráfica:

b)
Sean U = { letras de la palabra aritmética}

y

B = { vocales de la palabra vida }

Determinado por extensión tenemos

U = { a, r, i, t, m, e, c }

B = { i, a }

Su complemento de B es:

B' = { r, t, m, e, c }

COMENTARIO PROPIO:

La teoria de conjuntos es base primordial en las matemáticas ya que a traves de ellas nosotros podemos conglomerar o unir cosas, objetos, en fin todo aquello que nosotros podamos agrupar con el simple hecho que miremos un bosque lo formamos como un conjunto de bosques u otros en nuestra vida cotidiana encontraremos distintas cosas incluso los tenemos que ordenar y si lo estamos haciendo solamente darnos cuena que ya estamos fdormando conjuntos, ¡que son los conjuntos? bueno es la agrupacion o union que se hace en cualquier momento con el fin de agrupar y diferenciar las distintas cosas.

En el mundo matematico encontraremos distintos conjuntos ya que en la actualidad nos dan a conocer los distintos grupos de ello asi como:
conjunto vacio

conjunto unitario

intersección de conjuntos

unión de conuntos

diferencia de conjuntos

conjunto potencia

Pero para ello tambien los podemos representar mediante una grafica ya que le llamamos"diagrama de veen" no lolvidemos que los conjuntos son base para las agrupaciones.

Estadistica

lunes, 27 de julio de 2009

TERCER BIMESTRE

TERCER BIMESTRE

Seguidores

Archivo del blog

Datos personales